“543”直观分层渐进式教学方法包括原理5步教学法、案例实践4步教学法、概念3步教学法，将课堂案例实践、科研案例、自由实验和流体力学创作实践融于概念和原理教学中，通过理论教学实践化、直观化、分层渐进达到内化于心外化于行，熟练掌握并灵活应用，全面激活学生学习主动性，激发学生创造力。形成《流体力学》课程思维、科研素养和工程能力。

（1）“5”指原理直观分层5步教学法，如图1，可以概括为：

直观讲解容易懂，趣味应用思维通；

直接会算有自信，综合技巧熟自通。

图1原理直观分层5步法

①原理直观讲解：避开繁琐理论推导、抽象的数学符号让学生从实际、直觉和守恒律等出发直接认知并理解概念和基本原理。以伯努利能量方程为例，传统教法原理推导就需要两节内容，我们根据机械能守恒一步就可以得出，而且更易理解和应用，如图2。

图2.原理直观讲解举例

②原理定性应用：通过大量生动趣味实例进行课堂演示、媒体展示、动手参与和探索讨论。比如伯努利原理的定性应用，如图3，师生动手演示吹乒乓球、气球、吹纸，兴趣实践调动学生的积极性和主动性，学生用原理进行定性分析，引导学生从纸吸效应联想解释船吸效应、车吸效应，熟练后再解释飞机升力和香蕉球等。

图3.原理定性应用举例

③原理直接定量应用：对这些实例简化进行直接简单定量分析计算，课堂陪伴式监督保证所有学生彻底搞懂一个简单典型案例，搞懂了就说明原理掌握了会用了，再来几个简单实例，注意彻底搞懂方能举一反三。同样以伯努利能量方程为例，如图4，大水箱理想管嘴出流速度计算、吹纸时压力减少了多少、飞机机翼上下表面速度知道计算压差等。这一步虽然简单但很关键，这时一定要让学生明白自己已经掌握了流体力学原理，有利于增强同学们对流体力学的学习信心，而尽量避免让其它未掌握的知识和技巧等挫伤学生积极性。因此在学生的课堂实践和课后习题要尽量给出一些简化可以用原理直接计算的题目，不要拐弯抹角。

图4.原理定量应用举例

④原理综合定量应用：通过复杂案例逐渐综合定量计算+反复训练熟能生巧（课堂案例练习、课后典型习题练习、课堂易错习题再练习），注意循序渐进逐渐增加复杂度、根据课程进度逐渐增加综合性，该过程渗透了科学探索与研究方法和复杂工程问题解决之道，同时注意根据学生基础进行合理的难度区分。这里用伯努利能量方程计算实际的飞机（如空客A380或者C919）多大速度就能起飞，根据实际的飞机机翼参数进行计算，如图5。

图5综合定量应用举例

⑤原理证明：针对性进行理论分析方法和技巧训练，原理理解记住会用了亲切了，然后再来进行公式推导和理论分析，感悟科学思想和方法魅力、体验数学和科学发现之美，如图6。

图6.原理证明举例示意

从原理证明注意强调三点：

✓ 回顾功能原理，强调物理课程的重要性，我们的各学科专业的知识只不过是物理的具体应用。物理为“万物之理”，好多同学没有引起足够重视。

✓ 微积分实质还是“加减法”，没有什么太特别的地方，打消大家对微积分的恐惧心理。微积分只是因为应用时加减乘除不好算了或者算不准了或者算不了了换了一种加减乘除的方式而已。举个例子算不规则图形面积，整体计算时没有面积公式可以用了，于是把它分成很多（比如5千万个）微小的正方形，算出每个正方形的面积，这就是微分，即把面积的代数运算改在每一个微小的正方形上去做，仅此而已。然后每个正方形面积算出来了再加起来就是整个不规则图形的面积，这就是积分（本质是加法）。注意那个抽象积分符号“∫”是天才数学家莱布尼兹发明的，大家可能以为是莱布尼兹故弄玄虚出风头搞出来显摆自己折腾别人的东西，他简直活该被牛顿老人家挤兑。实际上这是一个大大的冤枉，大家看看这个符号像什么，是不是像英文字母的“S”啊，太对了，它就是“S”，是sum求和这个单词的首字母，说到这里同学们是不是很佩服这位天才的数学家的良苦用心了，也就明白积分不是什么新鲜玩意儿，可以直接理解为“Σ”求和符号即可。再举个例子，平均速度的定义是一段时间Δt内走的路程，即位移变化量Δx，所以平均速度=Δx/Δt。然而我们汽车数字菜单有的时候显示的瞬时速度是怎么回事呢，大家可能都知道它是你的汽车在查看时刻的速度值，它是在随着时间在不断变化的，一会儿120，一会儿100，一会儿80。这是怎么计算出来的呢？实际上就是把时间Δt分成了许多微小时间dt,微小时间dt对应的路程或位移变化量也是微小的表示成dx，所以此时的速度=dx/dt就是瞬时速度。这就是微分，是不是把平均速度的Δx/Δt除法运算改到一个微小的时间里去做相同的除法（dx/dt）了呢？所以瞬时速度的定义就是你查看菜单时的dt微小时间内走过的路程dx。速度定义没有变，平均速度是长时间的路程，瞬时速度只是非常短时间内的路程。

✓ 伯努利能量方程可以从不同角度得到，所以注意理解真理的相对性和绝对性，到达真理有不同的路径，而且真理是不断发展和完善的。鼓励同学不断去破旧立新，敢于突破真理的适用条件和范围，不断的完善发展真理，不断尝试达到真理的别的路径。

（2）“4”指案例实践分层4步教学法，如图7。提炼全书12个最最核心内容，甄选典型工程、生活、科研和思政案例，要求案例足够有趣或者足够有用，为每个重点内容量身定制。通过①案例导入、②定性分析、③初步计算和④详细计算，融入原理5步教学法中。案例导入时直接引出本章最重要内容、根本任务和核心目标，让学生学习目的明确，重点清晰印象深刻。该方法重在分层渐进式反复实践、学生主动参与和教师友情式导-陪-督-助，教师主要进行方法引导、并陪伴学生实践，督促方法为激励优等生完成后引导探索更复杂问题，鼓励中等生保质保量完成，耐心帮助差等生结合单独辅导对其查缺补漏，直到所有学生搞懂完成现场提交，这样可以避免课堂惰性和课后抄袭。

图7.案例实践分层4步法

（3）“3”指概念直观分层3步教学法告别死记硬背，可以概括为：

望文生义识大体，实物难忘记用易；

深入琢磨求本质，课程思维不能离。

①望文生义：从概念字义直接理解能知其大概，许多概念在定义时就是与字义大致相符的。层流字义分层流动，湍流即乱流，如图8。

图8望文生义举例

②联系实物：遇到概念首先联系熟悉的实物、现象或者过程，以图像的形式映入脑海，情景式体验让人易记难忘。如图9中纹影法蜡烛燃烧中的图像，永世难忘，见到其它流动，你直接就能说出这是层流那是湍流。经过这两步，概念在你脑中就活了，和实物对应起来了，直接就可以应用分析了。

图9联系实物举例

③本质理解：概念由生变熟刻在脑子里了，再理解本质就容易了。同样对于层流和湍流，层流为规则分层流动，层间干扰小掺混弱，阻力以层间相对运动产生的粘性主力为主。而湍流则是流动混乱，流线弯曲相互缠绕所以掺混强，而且速度大小方向不断变化导致加速度a大，因而阻力以惯性阻力（-ma）为主。

图10 本质理解举例

经过我们的多年实践和推广应用证明：“543”直观分层渐进教学法将课程思政、案例实践融于概念和原理教学中，突出学生中心、主动实践、教师导陪督助。课堂案例、自由实验和流体力学创作实践能够全面激活学生学习主动性，激发学生创造力。同时对教师《流体力学》学术水平和教学水平都有显著提升。